É dia de Matemática: Questões discursivas de Matemática

1) Uma pessoa caminha em uma pista plana com a forma de triângulo retângulo. Ao dar uma volta completa na pista com velocidade constante de caminhada, ela percorre 600 e 800 metros nos trajetos correspondentes aos catetos da pista triangular, e o restante da caminhada ela completa em 10 minutos. A velocidade constante de caminhada dessa pessoa é igual a quantos quilômetros por hora?

A resolução desta questão se baseia no teorema de Pitágoras. Vamos descobrir a medida do trajeto percorrido em 10 minutos, a partir do qual iremos calcular a velocidade procurada.

Para solucionar o problema vamos observar a figura ao lado que representa a pista em questão.

Em função do enunciado sabemos que o lado a, correspondente à hipotenusa, foi percorrido em 10 minutos, assim sendo, basta descobrirmos o seu comprimento para podermos calcular a velocidade na qual ele foi percorrido, que é constante em todo o percurso.

Segundo o teorema de Pitágoras o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos, para quaisquer triângulos retângulos.

O teorema pode ser representado pela seguinte equação:

Neste nosso problema temos b = 600 e c = 800, o que nos leva à seguinte equação:

Agora temos condições de descobrir quantos metros possui o trecho da pista que foi percorrido em dez minutos.

Vejamos:

Agora sabemos o trecho percorrido em dez minutos tem 1000 m de comprimento.

Se em 10 min percorremos 1000 m, em 60 min (ou seja, em 1 h) vamos percorrer quantos metros?

Resolvendo a regra de três simples e direta temos:

Então a velocidade constante de caminhada foi de 6000 m por hora, mas o enunciado pede a velocidade em km/h, por isto precisamos realizar mais uma conversão, agora de m para km.

Já aprendemos que a conversão de metros para quilômetros é realizada dividindo-se por 1000 a medida em metros. Como temos 6000 metros, ao dividi-los por 1000 obtemos 6 quilômetros.

Portanto:

A velocidade constante de caminhada é de 6 km/h.

2) Um professor aplicou duas provas, cada uma valendo 10. O combinado com seus alunos era que a média final de cada um seria calculada utilizando-se peso 1 na nota da primeira prova e peso 2 na nota da segunda prova. Na hora de fazer os cálculos da média de um aluno, o professor trocou os pesos entre as duas provas, obtendo média igual a 5. Corrigido o erro, a média do aluno subiu 1 ponto. Nas condições do problema, a nota que esse aluno tirou na segunda prova superou sua nota da primeira prova em quantos por cento?

A resolução desta outra questão envolve tanto o cálculo da média aritmética ponderada, quanto o cálculo de porcentagem.

Em resumo precisamos descobrir o valor de cada nota, para então descobrimos quantos por cento a segunda nota é maior que a primeira. Vamos então à resolução.

Segundo o enunciado, erroneamente a média foi calculada com os pesos invertidos. A primeira nota tendo peso 2 e a segunda peso 1:

No entanto a média deveria ser calculada tendo a primeira nota peso 1 e a segunda peso 2:

Note que com os pesos corretos a média passou de 5 a 6 conforme o enunciado.

Vamos tratar as equações eliminado assim as frações:

Como temos duas variáveis com duas equações, vamos montar um sistema de equações com duas variáveis para identificarmos o valor de cada nota obtida pelo aluno:

Vamos eliminar N₂ multiplicando a primeira equação por -2 e somando à segunda equação, obtendo assim o valor de N₁:

Agora podemos obter o valor de N₂ substituindo N₁ pelo seu valor na primeira equação:

Agora sabemos que o aluno teve nota 4 na primeira prova e nota 7 na segunda prova.

Como o enunciado pergunta quantos por cento a segunda nota é maior que a primeira, precisamos dividir a diferença entre a segunda e a primeira, pela primeira nota:

Esta divisão resulta em 0,75 que é o valor procurado, mas na forma decimal, precisamos então multiplicá-lo por 100% para convertê-lo na forma percentual:

Então:

A nota que esse aluno tirou na segunda prova superou sua nota da primeira prova em 75%.

3) Bel, Karen e Isabella são três embarcações que navegam, respectivamente, com velocidades de 40 km/h, 50 km/h e 60 km/h. Bel começou sua viagem às 7 h e Karen, às 9 h. Sabe-se que as três embarcações partiram de um mesmo local e seguiram a mesma rota. Para que todas se encontrem num mesmo horário, qual deve ser o horário em que Isabella começou a sua viagem?

Este problema requer que calculemos a que distância do ponto de partida estarão Bel e Karen quando se encontrarem, sendo que Bel, que é a mais lenta das três embarcações, partiu 2 horas mais cedo e depois calculemos quanto tempoIsabella gasta para fazer tal percurso, a fim de calcularmos a que horas ela deve partir.

A distância percorrida pode ser obtida multiplicando-se a velocidade pelo tempo de viagem. Sabendo disto, podemos montar a seguinte equação a partir dos dados fornecidos pelo enunciado:

No primeiro membro desta equação estamos calculando a distância percorrida por Bel, já no segundo membro calculamos a distância percorrida por Karen. Sendo t a variável que indica o tempo no percurso em horas, note que Karen tem duas horas a menos de viagem, pois partiu duas horas mais tarde.

Solucionando esta equação do primeiro grau iremos descobrir que as duas primeiras embarcações que partiram se encontraram dez horas depois da partida da primeira:

Às 17 h tanto Bel quanto Karen estavam no mesmo ponto após terem percorrido 400 km (o produto de 40 km/h por 10 hreferente a Bel, ou de 50 km/h por 8 h referente a Karen). Então precisamos calcular em quanto tempo Isabella consegue fazer tal percurso na velocidade de 60 km/h. Obtemos tal tempo dividindo 400 km por 60 km/h:

Agora sabemos que Isabella demora 6 h e mais ²/₃ h para fazer tal percurso. Vamos então subtrair este número de horas de17 h que é o horário no qual as três embarcações devem se encontrar: