sexta-feira, 21 de abril de 2017

Atividade - Problemas envolvendo conjuntos



quarta-feira, 5 de abril de 2017

Conjuntos: União e Intersecção (Aula 3 de 4)

Exercícios sobre conjuntos

1. Seja A = { 1, {2}, {1,2} }. Considere as afirmações:
(I) 1 \displaystyle \in  A
(II) 2 \displaystyle \in  A
(III) \displaystyle \varnothing \subset  A
(IV) {1,2} \displaystyle \subset  A
Estão corretas as afirmações:
A) I e II
B) I e III
C) III e IV
D) III
E) I
2. Sabendo que A = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 5, 6} e C = {1, 6, 7, 8, 9}, podemos afirmar que o conjunto (A \displaystyle \cap  B) \displaystyle \cup  C é:
A) {1, 4}
B) {1, 4, 6, 7}
C) {1, 4, 5, 6}
D) {1, 4, 6, 7, 8, 9}
3. José Carlos e Marlene são os pais de Valéria. A família quer viajar nas férias de julho. José Carlos conseguiu tirar suas férias na fábrica do dia 2 ao dia 28. Marlene obteve licença no escritório de 5 a 30. As férias de Valéria na escola vão de 1 a 25. Durante quantos dias a família poderá viajar sem faltar as suas obrigações?
A) 19
B) 20
C) 21
D) 22
4.(UNESP) Numa classe de 30 alunos, 16 gostam de Matemática e 20 gostam de História. O número de alunos desta classe que gostam de Matemática e História é:
A) exatamente 16
B) exatamente 10
C) no máximo 6
D) no mínimo 6
E) exatamente 18
5.(PUC) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 15 pessoas utilizam pelo menos um dos produtos A ou B. Sabendo que 10 destas pessoas não usam o produto B e que 2 destas pessoas não usam o produto A, qual é o número de pessoas que utilizam os produtos A e B?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5

Soluções dos Exercícios

A seguir apresentamos as resoluções das questões.
Em questões de conjuntos, é muito comum o uso das palavras “apenas” e “somente”, bem como os conectivos “e” e “ou”, fique atento(a) quanto ao seu uso.
Nesse artigo aqui tem mais dicas sobre o que fazer com relação a tais palavras e mais diversos problemas resolvidos com diagrama de venn.
Exercício 1.
Um ponto importante para chegar a resposta correta desta questão é ter em mente o que é relação de pertinência e sobre a relação entre um subconjunto e conjunto.
relação de pertinência é usada somente para relacionar o elemento e seu conjunto. Utilizamos para isso o símbolo \displaystyle \in  (lê-se: pertence).
Para relacionar subconjunto e conjunto, usamos o símbolo \displaystyle \subset  (lê-se: está contido), ou seja, sempre que um conjunto está contido em outro, utilizamos tal símbolo.
Claro que o contexto envolvendo a questão deve ser analisado antes, como veremos a seguir na resolução
Analisaremos item por item.
(I) Veja que 1 é elemento de A e o símbolo usado (pertence) para relacionar está correto, então o item I é verdadeiro.
(II) Repare que 2 não é elemento do conjunto A, então ele não pertence a A, logo o item II não está correto. Observe que {2} é elemento de A. Nesse ponto, chamamos a atenção para o fato de que {2} é um conjunto, já que está entre chaves, que é um elemento de A.
Há uma diferença entre 2 e {2}, espero que tenha percebido. O item IV é semelhante.
(III) Uma das propriedades de inclusão (por definição de subconjunto) diz o seguinte: o \displaystyle \varnothing  (vazio) está contido em qualquer conjunto. Portanto, o item III está correto.
(IV) Mais uma vez temos que {1,2} é um elemento de A e não um subconjunto, logo a afirmação não está correta, pois deveria ser usado o símbolo de pertence. Neste caso, o símbolo estaria correto se, ao invés de {1,2} tivéssemos {{1,2}} (subconjunto 1,2).
Temos que somente os itens I e III estão corretos.
Observação: caso você tenha dificuldade para compreender as relações que existem entre um conjunto, elemento e subconjunto estude um pouco mais sobre relação de pertinência e subconjuntos.
Exercício 2.
O exercício pede o conjunto (A \displaystyle \cap  B) \displaystyle \cup  C, “A interseção B união C”.
Sendo que a relação entre parênteses (interseção) precede a que está fora (união), deve ser realizada antes.
(A \displaystyle \cap  B), o conjunto “A interseção B” é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B, que são comuns aos dois conjuntos.
A = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 5, 6}.
(A \displaystyle \cap  B) = { 4 }.
Como já obtemos o conjunto “A interseção B”, {4}. Vamos agora realizar a união com C.
O conjunto união (reunião) é formado por todos os elementos que pertencem a um ou a outro conjunto. Todos os elementos dos conjuntos fazem para do conjunto união e não precisa repetir o mesmo elemento.
(A \displaystyle \cap  B) = { 4 } e C = {1, 6, 7, 8, 9}.
(A \displaystyle \cap  B) \displaystyle \cup  C = {1, 4, 6, 7, 8, 9}.
Exercício 3.
A resposta para a pergunta deste problema será dada pela interseção dos dias em que cada um poderá faltar sua obrigações. Vejamos:
José Carlos = { 2, 3, 4, 5, …,25, 26, 27, 28 }.
Marlene = { 5, 6, 7, …, 25, 26, 27, 28, 29, 30 }.
Valéria = { 1, 2, 3, 4, 5, …, 25 }
Repare que Marlene só terá licença a partir do dia 5, antes não poderá já que José Carlos e Valéria podem, logo os membros da família só poderão iniciar as férias juntos a partir do dia 5.
Veja que as férias de Valéria terminam no dia 25, logo os membros da família só poderão ficar juntos até dia 25.
Os dias em que a família poderá viajar sem faltar as obrigações vão do dia 5 ao dia 25.
{5, 6, 7, …, 23, 24, 25}, temos um total de 21 dias.
Observação: ao realizar o cálculo da quantidade de dias, tenha atenção para não excluir o dia 5 realizando o seguinte cálculo: 25 – 5 = 20. Deste modo você exclui um dia (5) e está errado já que o dia 5 entra, ok?
Para você calcular a quantidade de números naturais num intervalo dado basta seguir o seguinte método:
(número final) – (número inicial) + 1.
Como exemplo, vamos calcular a quantidade de (dias) números naturais de 5 a 25.
Número final = 25, número inicial = 5.
25 – 5 + 1 = 21.
Exercício 4.
Sejam n(M) e n(H) o número de alunos que gostam de Matemática e História, respectivamente.
n(M U H) = número de alunos que gostam de Matemática ou História (união).
n(M \displaystyle \cap  H) = número de alunos que gostam de Matemática e História (interseção).
Do problema temos: n(M) = 16, n(H) = 20 e n(M U H) = 30.
O número de elementos da união de dois conjuntos finitos (no caso n(M U H)) é dado por:
n(M U H) = n(M) + n(H) – n(M \displaystyle \cap  H), fazendo a substituição dos valores.
30 = 16 + 20 – n(M \displaystyle \cap  H) <=> n(M \displaystyle \cap  H) = 36 – 30 <=> n(M \displaystyle \cap  H) = 6.
Bem, com isso chegamos ao resultado de que o número de alunos que gostam de Matemática e História é igual a 6. Mas, se repararmos nas alternativas, não há esta opção.
E agora?
Ficamos então em dúvida se marcamos a alternativa C) no máximo 6 ou D) no mínimo 6.
Repare o seguinte:
em nossos cálculos acima, consideramos que todos os alunos (30) gostam de pelo menos uma matéria, ok?
Mas, em momento algum o problema diz isso no enunciado, concorda?
Pode haver alunos que não gostam de nenhuma das matérias 🙂 e isso aumentaria o número de alunos que gostam de ambas.
Exemplo: suponha que 1 aluno não goste de Matemática, nem de História.
30 – 1 = 29, isto quer dizer que 29 alunos gostam de Matemática ou História.
Refazendo os cálculos acima para o valor 29, teremos: 36 – 29 = 7 alunos gostam de Matemática e História.
Portanto, o número de alunos que gostam de Matemática ou História deve ser menor ou igual a 30, pois pode haver alunos que não gostam de ambas.
n(M U H) \displaystyle \le  30 <=>
n(M) + n(H) – n(M \displaystyle \cap  H) \displaystyle \le  30. Fazendo as substituições.
16 + 20 – n(M \displaystyle \cap  H) \displaystyle \le  30 <=> 36 – 30 \displaystyle \le  n(M \displaystyle \cap  H) <=> 6 \displaystyle \le  n(M \displaystyle \cap  H) ou n(M \displaystyle \cap  H) \displaystyle \ge  6.
Logo, o número de alunos que gostam de Matemática e História deve ser no mínimo 6.
Exercício 5.
Como 15 pessoas utilizam pelo menos um dos produtos A ou B, temos o seguinte:
10 pessoas não usam o produto B, então elas usam o produto A.
Total de pessoas que usam só A = 10 pessoas.
2 pessoas não usam o produto A, então elas usam o produto B.
Total de pessoas que usam só B = 2 pessoas.
Seja x o número de pessoas que utilizam os produtos A e B (ambos).
Temos que o número de pessoas que usam o produto A, mais o número de pessoas que usam o produto B, mais o número de pessoas que usam ambos deve ser igual a 15 (já que pelo menos um dos produtos é utilizado). Veja:
(nº de pessoas que usam só A) + (nº pessoas que usam só B) + x = 15
10 + 2 + x = 15 <=> x = 3 pessoas.
O número de pessoas que utilizam os produtos A e B é igual 3 pessoas.

Questão 17


quarta-feira, 15 de março de 2017

Questão 10 da prova - Desafio