Atividade - Problemas envolvendo conjuntos

Conjuntos: União e Intersecção (Aula 3 de 4)

Exercícios sobre conjuntos

1. Seja A = { 1, {2}, {1,2} }. Considere as afirmações:

(I) 1  A

(II) 2  A

(III)  A

(IV) {1,2}  A

Estão corretas as afirmações:

A) I e II

B) I e III

C) III e IV

D) III

E) I

2. Sabendo que A = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 5, 6} e C = {1, 6, 7, 8, 9}, podemos afirmar que o conjunto (A  B)  C é:

A) {1, 4}

B) {1, 4, 6, 7}

C) {1, 4, 5, 6}

D) {1, 4, 6, 7, 8, 9}

3. José Carlos e Marlene são os pais de Valéria. A família quer viajar nas férias de julho. José Carlos conseguiu tirar suas férias na fábrica do dia 2 ao dia 28. Marlene obteve licença no escritório de 5 a 30. As férias de Valéria na escola vão de 1 a 25. Durante quantos dias a família poderá viajar sem faltar as suas obrigações?

A) 19

B) 20

C) 21

D) 22

4.(UNESP) Numa classe de 30 alunos, 16 gostam de Matemática e 20 gostam de História. O número de alunos desta classe que gostam de Matemática e História é:

A) exatamente 16

B) exatamente 10

C) no máximo 6

D) no mínimo 6

E) exatamente 18

5.(PUC) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 15 pessoas utilizam pelo menos um dos produtos A ou B. Sabendo que 10 destas pessoas não usam o produto B e que 2 destas pessoas não usam o produto A, qual é o número de pessoas que utilizam os produtos A e B?

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

Soluções dos Exercícios

A seguir apresentamos as resoluções das questões.

Em questões de conjuntos, é muito comum o uso das palavras “apenas” e “somente”, bem como os conectivos “e” e “ou”, fique atento(a) quanto ao seu uso.

Nesse artigo aqui tem mais dicas sobre o que fazer com relação a tais palavras e mais diversos problemas resolvidos com diagrama de venn.

Exercício 1.

Um ponto importante para chegar a resposta correta desta questão é ter em mente o que é relação de pertinência e sobre a relação entre um subconjunto e conjunto.

A relação de pertinência é usada somente para relacionar o elemento e seu conjunto. Utilizamos para isso o símbolo  (lê-se: pertence).

Para relacionar subconjunto e conjunto, usamos o símbolo  (lê-se: está contido), ou seja, sempre que um conjunto está contido em outro, utilizamos tal símbolo.

Claro que o contexto envolvendo a questão deve ser analisado antes, como veremos a seguir na resolução

Analisaremos item por item.

(I) Veja que 1 é elemento de A e o símbolo usado (pertence) para relacionar está correto, então o item I é verdadeiro.

(II) Repare que 2 não é elemento do conjunto A, então ele não pertence a A, logo o item II não está correto. Observe que {2} é elemento de A. Nesse ponto, chamamos a atenção para o fato de que {2} é um conjunto, já que está entre chaves, que é um elemento de A.

Há uma diferença entre 2 e {2}, espero que tenha percebido. O item IV é semelhante.

(III) Uma das propriedades de inclusão (por definição de subconjunto) diz o seguinte: o  (vazio) está contido em qualquer conjunto. Portanto, o item III está correto.

(IV) Mais uma vez temos que {1,2} é um elemento de A e não um subconjunto, logo a afirmação não está correta, pois deveria ser usado o símbolo de pertence. Neste caso, o símbolo estaria correto se, ao invés de {1,2} tivéssemos {{1,2}} (subconjunto 1,2).

Temos que somente os itens I e III estão corretos.

Observação: caso você tenha dificuldade para compreender as relações que existem entre um conjunto, elemento e subconjunto estude um pouco mais sobre relação de pertinência e subconjuntos.

Exercício 2.

O exercício pede o conjunto (A  B)  C, “A interseção B união C”.

Sendo que a relação entre parênteses (interseção) precede a que está fora (união), deve ser realizada antes.

(A  B), o conjunto “A interseção B” é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B, que são comuns aos dois conjuntos.

A = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 5, 6}.

(A  B) = { 4 }.

Como já obtemos o conjunto “A interseção B”, {4}. Vamos agora realizar a união com C.

O conjunto união (reunião) é formado por todos os elementos que pertencem a um ou a outro conjunto. Todos os elementos dos conjuntos fazem para do conjunto união e não precisa repetir o mesmo elemento.

(A  B) = { 4 } e C = {1, 6, 7, 8, 9}.

(A  B)  C = {1, 4, 6, 7, 8, 9}.

Exercício 3.

A resposta para a pergunta deste problema será dada pela interseção dos dias em que cada um poderá faltar sua obrigações. Vejamos:

José Carlos = { 2, 3, 4, 5, …,25, 26, 27, 28 }.

Marlene = { 5, 6, 7, …, 25, 26, 27, 28, 29, 30 }.

Valéria = { 1, 2, 3, 4, 5, …, 25 }

Repare que Marlene só terá licença a partir do dia 5, antes não poderá já que José Carlos e Valéria podem, logo os membros da família só poderão iniciar as férias juntos a partir do dia 5.

Veja que as férias de Valéria terminam no dia 25, logo os membros da família só poderão ficar juntos até dia 25.

Os dias em que a família poderá viajar sem faltar as obrigações vão do dia 5 ao dia 25.

{5, 6, 7, …, 23, 24, 25}, temos um total de 21 dias.

Observação: ao realizar o cálculo da quantidade de dias, tenha atenção para não excluir o dia 5 realizando o seguinte cálculo: 25 – 5 = 20. Deste modo você exclui um dia (5) e está errado já que o dia 5 entra, ok?

Para você calcular a quantidade de números naturais num intervalo dado basta seguir o seguinte método:

(número final) – (número inicial) + 1.

Como exemplo, vamos calcular a quantidade de (dias) números naturais de 5 a 25.

Número final = 25, número inicial = 5.

25 – 5 + 1 = 21.

Exercício 4.

Sejam n(M) e n(H) o número de alunos que gostam de Matemática e História, respectivamente.

n(M U H) = número de alunos que gostam de Matemática ou História (união).

n(M  H) = número de alunos que gostam de Matemática e História (interseção).

Do problema temos: n(M) = 16, n(H) = 20 e n(M U H) = 30.

O número de elementos da união de dois conjuntos finitos (no caso n(M U H)) é dado por:

n(M U H) = n(M) + n(H) – n(M  H), fazendo a substituição dos valores.

30 = 16 + 20 – n(M  H) <=> n(M  H) = 36 – 30 <=> n(M  H) = 6.

Bem, com isso chegamos ao resultado de que o número de alunos que gostam de Matemática e História é igual a 6. Mas, se repararmos nas alternativas, não há esta opção.

E agora?

Ficamos então em dúvida se marcamos a alternativa C) no máximo 6 ou D) no mínimo 6.

Repare o seguinte:

em nossos cálculos acima, consideramos que todos os alunos (30) gostam de pelo menos uma matéria, ok?

Mas, em momento algum o problema diz isso no enunciado, concorda?

Pode haver alunos que não gostam de nenhuma das matérias  e isso aumentaria o número de alunos que gostam de ambas.

Exemplo: suponha que 1 aluno não goste de Matemática, nem de História.

30 – 1 = 29, isto quer dizer que 29 alunos gostam de Matemática ou História.

Refazendo os cálculos acima para o valor 29, teremos: 36 – 29 = 7 alunos gostam de Matemática e História.

Portanto, o número de alunos que gostam de Matemática ou História deve ser menor ou igual a 30, pois pode haver alunos que não gostam de ambas.

n(M U H)  30 <=>

n(M) + n(H) – n(M  H)  30. Fazendo as substituições.

16 + 20 – n(M  H)  30 <=> 36 – 30  n(M  H) <=> 6  n(M  H) ou n(M  H)  6.

Logo, o número de alunos que gostam de Matemática e História deve ser no mínimo 6.

Exercício 5.

Como 15 pessoas utilizam pelo menos um dos produtos A ou B, temos o seguinte:

10 pessoas não usam o produto B, então elas usam o produto A.

Total de pessoas que usam só A = 10 pessoas.

2 pessoas não usam o produto A, então elas usam o produto B.

Total de pessoas que usam só B = 2 pessoas.

Seja x o número de pessoas que utilizam os produtos A e B (ambos).

Temos que o número de pessoas que usam o produto A, mais o número de pessoas que usam o produto B, mais o número de pessoas que usam ambos deve ser igual a 15 (já que pelo menos um dos produtos é utilizado). Veja:

(nº de pessoas que usam só A) + (nº pessoas que usam só B) + x = 15

10 + 2 + x = 15 <=> x = 3 pessoas.

O número de pessoas que utilizam os produtos A e B é igual 3 pessoas.

Questão 17