Círculo e suas partes

Olá, segue resuminho sobre área de círculo e suas respectivas partes. Espero que gostem. Bons estudos!!!

Corda, Diâmetro e raio

Olá,

como solicitado segue resuminho e exercícios sobre corda, diâmetro e raio de circunferência. Em breve postarei sobre área de círculo. Bons Estudos!!!

Resoluções Débora Almeida

Resolução Trabalho de Recuperação - Questão 5

Revisão para a Prova

Olá alunos,

segue a revisão resolvida. Abraços e bons estudos!!!

Escalas

A escala é a razão entre as dimensões no desenho (ou planta, ou mapa) e as correspondentes dimensões na realidade. Assim, podemos dizer o seguinte:

- Se a razão for maior que 1 representa uma ampliação.

- Se a razão for menor que 1 representa uma redução.

Para calcular escalas, é usada a proporcionalidade direta. Assim, tanto pode utilizar a propriedade fundamental das proporções, como a regra de três simples. Para saber como fazer estes dois métodos, clique aqui.

• Como calcular escalas - calcular a distância real

De seguida iremos mostrar como calcular a distância real a partir de um mapa.

Sabendo, que no mapa, duas cidades estão separadas por um segmento de reta de 6 cm e que a escala do mapa é de 1: 3000000, calcula a distância real.

DM = 6 cm

DR = ?

Escala = 1 : 3 000 000

R: A distância real é de 180 km

• Como calcular escalas - como calcular a escala de um mapa (ou desenho, ou planta)

De seguida iremos explicar como calcular a escala de uma mapa sabendo a distância real e a distância no mapa.

A distância real entre duas cidades é de 23 km. No mapa a distância, em linha reta, entre estas duas cidades, é de 5 cm. Qual é a escala? 

DM = 5 cm

DR= 23 km = 2 300 000 cm

Escala =  ?

             

Escala 1: 460 000 ou 1 /  460 000 (1cm no mapa corresponde a 460000cm de distância na realidade)

R: A escala do mapa é 1 : 460 000

ANÁLISE COMBINATÓRIA

Olá pessoal,

como prometido, segue resuminho de ANÁLISE COMBINATÓRIA

Fatorial

Definição: Seja n um número natural maior que 1. O fatorial de n, indicado por n!, é definido como o produto dos n números naturais consecutivos de 1 até n, isto é,

n! = n.(n – 1) . (n – 2) . … .3.2.1,

onde

Obs.: convencionou-se que

0! = 1

e

1! = 1

Exemplos

Exemplo 01

5! = 5.4.3.2.1

Exemplo 02

8! = 8.7.6.5.4.3.2.1

Esse conceito de fatorial aparece em várias fórmulas na análise combinatória, como as apresentadas a seguir.

Agrupamentos por Arranjo simples

Definição: “Seja E um conjunto com n elementos, isto é, E = {a1,a2, a3, …, an} . Chamamos de arranjos simples dos n elementos de E tomados P a P (1≤ p ≤ n) a qualquer sequência formada por P elementos distintos de E.”

Símbolo: An . P ou APn.

Fórmula:

Combinação simples

Definição: “Seja E um conjunto com n elementos, isto é, E = {a1,a2, a3, …, an} . Chamamos de arranjos simples dos n elementos de E tomados P a P (1≤ p ≤ n) a qualquer subconjunto de Eformada por P elementos.”

Símbolo: Cn . P ou CPn.

Fórmula:

Obs.: Veja que a diferença entre arranjo e combinação está na ordem dos elementos. Como arranjo é uma sequência, a mudança de ordem gera um novo grupo, enquanto na combinação isto não ocorre.

Considere o seguinte exemplo

Com os elementos do conjunto {1,2,3,4,5,6},

a) Quantas senhas de 3 algarismos distintos podemos formar?

b) Quantos subconjuntos de 3 elementos distintos podemos formar?

Resolução:

a) Veja que a senha 123 é diferente de 321. Neste caso, como a variação da ordem gera uma nova senha, cada um desses grupos é considerado um arranjo de 6 elementos tomados 3 a 3. O total é dado por

b) O subconjunto {1,2,3} é o mesmo que {3,2,1}. Neste caso, como a variação da ordem dos elementos não gera um novo agrupamento, estamos diante de um problema de combinação. O total de subconjuntos é dado por

Permutação simples

Este é um conceito muito simples, pois permutação é um caso particular de arranjo. Além disso, o termo permutação é bastante sugestivo e, neste sentido, o que irá ser feito é, essencialmente, permutar as posições de elementos de um conjunto dado.

Definição: “Seja E um conjunto com n elementos, isto é, E = {a1,a2, a3, …, an} . Chamamos depermutação simples dos n elementos de E a qualquer sequência formada pelos n elementos distintos de E.”

Símbolo: Pn.

Fórmula: Pn = n!

Exemplo

Quantos são os anagramas da palavra AMOR?

Resolução:

Anagramas da palavra amor são todas as palavras, com ou sem significado, que criamos usando todas as letras da palavra dada. Alguns deles são ROMA, ROAM, MORA, AMOR, MROA, etc.

Veja que estamos simplesmente permutando todas as 4 letras. Assim, o total de anagramas é dado por

P4 = 4! = 24

E se a palavra fosse BATATA?

Neste caso tem-se uma Permutação com Repetição.

Permutação com repetição

Fórmula:

(n objetos, onde um deles se repete á vezes, outro â vezes, e assim por diante).

Calculando então o total de anagramas da palavra BATATA, temos 6 letras, com A repetindo 3 vezes e T duas vezes.

Exercícios de aplicação

Exercício 01

Com os números do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6} quantas senhas

a) de 3 letras podemos formar?

b) de 3 letras distintas podemos formar?

Exercício 02

Com as letras A, B, C, D, E quantas senhas de 3 letras distintas podemos formar?

Exercício 03

Com as frutas A, B, C, D, E quantas vitaminas de 3 frutas podemos formar?

Exercício 04

Quantos anagramas da palavra SONHAR começam e terminam por vogal?

Exercício 05

(ENEM, 2ª aplicação, 2010) Considere que um professor de arqueologia tenha obtido recursos para visitar 5 museus, sendo 3 deles no Brasil e 2 fora do país. Ele decidiu restringir sua escolha aos museus nacionais e internacionais relacionados na tabela a seguir.

Museus nacionais	Museus internacionais
Masp – São Paulo	Louvre – Paris
MAM – São Paulo	Prado – Madri
Ipiranga – São Paulo	British Museum – Londres
Imperial – Petrópolis	Metropolitan – Nova York

De acordo com os recursos obtidos, de quantas maneiras diferentes esse professor pode escolher os 5 museus para visitar?

a) 6

b) 8

c) 20

d) 24

e) 36

Questão 01

(ENEM, 2009) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante.

A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de:

a) Uma combinação e um arranjo, respectivamente.

b) Um arranjo e uma combinação, respectivamente.

c) Um arranjo e uma permutação, respectivamente.

d) Duas combinações.

e) Dois arranjos.

Questão 02

(ENEM, 2004) No Nordeste brasileiro é comum encontrarmos peças de artesanato constituídas por garrafas preenchidas com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura.

O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma questão de contraste, então o número de variações que podem ser obtidas para a paisagem é:

a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 10

Questão 03

(ENEM, 2005) A escrita Braile para cegos é um sistema de símbolos no qual cada caractere é um conjunto de 6 pontos dispostos em forma retangular, dos quais pelo menos um se destaca em relação aos demais.

Por exemplo, a letra A é representada por:

O número total de caracteres que podem ser representados no sistema Braile é:

a) 12

b) 31

c) 36

d) 63

e) 720

Questão 04

(ENEM, 2007) Estima-se que haja no Acre 209 espécies de mamíferos, distribuídas conforme a tabela a seguir:

Deseja-se realizar um estudo comparativo entre três dessas espécies de mamíferos – uma do grupo cetáceos, outra do grupo primatas e a terceira do grupo roedores.

O número de conjuntos distintos que podem ser formados com essas espécies para esse estudo é igual a:

a) 1.320

b) 2.090

c) 5.845

d) 6.600

e) 7.245

Questão 05

(ENEM, 2011) O setor de Recursos Humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados números com 5 algarismos distintos e em nenhum deles apareceram dígitos pares.

Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75.913 é

a) 24

b) 31

c) 32

d) 88

e) 89

 Disponível em: Blog do ENEM

Este é um vídeo muito legal sobre o conteúdo

https://www.youtube.com/watch?v=tJUWdjFHG48

Resolução questão ENEM - Júlia

Texto I

De acordo com o Manual de Obras da Companhia de Engenharia de Tráfego, barreiras de concreto são dispositivos temporariamente colocados em uma via para direcionar e bloquear o tráfego de veículos e pedestres de forma imperativa, evitando danos de extrema gravidade. A imagem a seguir ilustra uma barreira de concreto:

Manual de Sinalização Urbana, Volume 8: Obras. Companhia de Engenharia e Tráfego (CET). Disponível em: http://www.cetsp.com.br. Acesso em: 11 ago. 2014 (adaptado).

Texto II

O Manual de Obras define forma e medidas de uma barreira de concreto, apresentando-os em um esquema. A ilustração abaixo apresenta o esquema de uma barreira de concreto, com medidas em centímetros de suas arestas. As faces laterais são paralelas, as bases superior e inferior são retangulares e paralelas, e as faces posicionadas de forma simétrica em relação às bases são retangulares e congruentes:

Manual de Sinalização Urbana, Volume 8: Obras. Companhia de Engenharia e Tráfego (CET). Disponível em: http://www.cetsp.com.br. Acesso em: 11 ago. 2014 (adaptado).

Texto III

A partir do esquema, os técnicos responsáveis pela manutenção dos dispositivos de sinalização podem prever a quantidade de concreto necessária para fabricação das barreiras. Suponha a barreira como um sólido maciço.

O volume de concreto necessário para a fabricação de uma barreira de sinalização de obras, em decímetros cúbicos, é

 a)  

306.

 b)  

325.

 c)  

339.

d)  

345.

 e)  

360.


Resolução